На всех облаках А – Г есть нечётные числа, например, число 3. Только на облаке Д все числа чётные.

Имеем: 10/4 = 2,5.

Если к периметру данной фигуры добавить длины штриховых линий на рисунке, то мы получим периметр трёх прямоугольников, из которых состоит эта фигура. Эти штриховые линии – две горизонтальные стороны и две вертикальные стороны данного прямоугольника. Поэтому их суммарная длина равна периметру одного такого прямоугольника. Следовательно, периметр данной фигуры равен сумме периметров двух прямоугольников, т.е., согласно условию, равен

14 + 14 = 28 см.

На рисунке белое кольцо зацеплено с серым и чёрным кольцами, которые между собой не зацеплены. Рассматривая варианты ответа, видим, что такой же характер зацепления имеют кольца в варианте ответа Г. Следовательно, этот ответ и является правильным.

Что касается других вариантов ответа, то можно отметить, что в ответах А и Д зацеплены друг с другом все три кольца. В ответе Б не зацеплены серое и белое кольца, а в ответе В не зацеплены никакие из этих трёх колец. Поэтому все эти ответы не являются верными.

Рисунки в вариантах ответа называются графами. Концы отрезков или дуг называются вершинами графа, а сами эти отрезки или дуги называются рёбрами графа. Предположим, что граф можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя ни одной линии дважды. Другими словами, существует путь, проходящий по одному разу через все рёбра графа. В теории графов такой путь называется эйлеровым. Тогда для каждой промежуточной (т.е. не начальной и не конечной) вершины число рёбер, по которым путь входит в данную вершину, должно равняться числу рёбер, по которым путь выходит из данной вершины. И поэтому промежуточная вершина должна быть концом для чётного числа рёбер (будем называть такую вершину чётной). А поскольку непрерывный путь может иметь только одно начало и один конец, то у графа, имеющего эйлеров путь, не может быть больше двух нечётных вершин. Граф на рисунке Г имеет 4 нечётные вершины. Поэтому у него нет эйлерового пути и, значит, правильным является ответ Г.

Что касается графов в других вариантах ответа, то для них эйлеров путь легко строится. При наличии двух нечётных вершин его следует начинать с любой такой вершины.

Каждый из пяти друзей встретился с четырьмя другими. Поэтому, согласно условию, каждый дал своим друзьям 4 конфеты. Следовательно, всего друзья выдали и съели

5 · 4 = 20 конфет.

Так как в результате число конфет уменьшилось наполовину, то первоначально у всех друзей было

20 · 2 = 40 конфет.

Для удобства рассуждений перепишем условие задачи в виде схемы:

1) М → Л;

2) В → Я;

3) Я → М;

4) В → Э.

Здесь буквы – заглавные буквы имён гонщиков, стрелки указывают на тех, кто финишировал раньше. Пункты 2), 3), 1) данной схемы можно объединить следующим образом:

В → Я → М → Л.

Отсюда с учётом 4) видно, что последним финишировал В, т.е. Виктор.

Поскольку цифра 0 при нумерации страниц брошюры использована 5 раз, то в брошюре не менее 50 страниц, но меньше 60.

Далее, среди первых 50 страниц цифра 8 используется 5 раз (по одному разу в каждом десятке). По условию задачи, при нумерации использована ещё одна цифра 8. Поэтому в брошюре не менее 58 страниц.

Есть только два числа, удовлетворяющие полученным ограничениям: 58 и 59. Но так как число страниц в брошюре чётное, то правильным ответом является ответ 58.

Площадь серой части квадрата составляет

1/4 + 7/9 · 1/4 = 1/4 · (1 + 7/9) = 1/4 · 16/9 = 4/9

от площади всего квадрата.

Пусть в кучах у Андрея оказалось по n яблок. Тогда, так как у него 6 куч, то всего у Андрея 6n яблок.

Согласно условию, у Бориса 5 куч по n + 2 яблока в каждой.

Тогда у Бориса

5(n + 2) = 5n + 10 яблок.

По условию,

6n = 5n + 10,

откуда n = 10.

Следовательно, у Андрея

6n = 6 · 10 = 60 яблок.

Пусть скрыты цифры a (на средней полоске), b и c (на нижней полоске). Тогда, согласно условию, имеем:

1243 + 21a7 + bc26 = 10126, или

1243 + 2107 + 10a + 1000b + 100c + 26 = 10126, или

1000b + 100c + 10a = 6750, откуда

b = 6, c = 7 и a = 5.

Таким образом, правильным является ответ А) 5, 6 и 7.

Так как по условию PQ = QS, то треугольник PQS равнобедренный и, значит,

∠QSR = ∠QPR = 20° (см. рис.).

Тогда

∠PQS = 180° – ∠QPR – ∠QSR = 180° – 20° – 20° = 140°.

Далее, так как PQ = PR, то треугольник PQR также равнобедренный и, значит,

∠PQR = (180° – 20°) : 2 = 80°.

В результате

∠RQS = ∠PQS – ∠PQR = 140° – 80° = 60°.

Ниже показано, как разрезать квадраты в вариантах ответа А) – Г), чтобы получились две фигуры, указанные в условии задачи.

Поэтому правильным может быть только ответ Д.

Нетрудно убедиться и непосредственно, что при всех четырёх способах разрезания квадрата Д) на две фигуры требуемых размеров их раскраска не совпадёт с раскраской фигур в условии задачи.

Построим граф рукопожатий. Будем изображать мальчиков в виде кружочков с заглавной буквой их имени. Отрезками укажем, кто кому пожал руку.

Так как Григорий пожал руки 4 раза, это значит, что он пожал руки всем (см. рис.1).

Далее, Владимир пожал руки 3 раза. Он пожал руку Григорию, но не мог пожать руку Александру, так как Александр пожал руку 1 раз, как установлено, Григорию. Поэтому Владимир, помимо Григория, пожал руки Борису и Дмитрию (см. рис.2).

Больше отрезков в графе рукопожатий быть не может, так как в графе на рис.2 для всех вершин А, Б, В и Г все условия задачи выполнены. Видим, что Д, т.е. Дмитрий, пожал руки 2 раза.

По-другому задачу можно было решить так. Общее число рукопожатий должно быть чётным, так как в каждом рукопожатии участвует два человека. Александр, Борис, Владимир и Григорий вместе сделали

1 + 2 + 3 + 4 = 10 (чётное число) рукопожатий.

Значит, и Дмитрий сделал чётное число рукопожатий. Их количество не может равняться 0.

Действительно, поскольку Григорий сделал 4 рукопожатия, он пожал руки всем, кто пришёл на вечеринку, в том числе и Дмитрию. Далее, число рукопожатий Дмитрия (как и всех на вечеринке) не больше 4. Но оно не может равняться 4, так как Дмитрий не пожимал руку Александру. Действительно, Александр пожал руку 1 раз, только Григорию. Таким образом, Дмитрий пожал руки 2 раза.

Согласно условию, после 20 бросков в корзину у Джейн было

20 · 0,55 = 11 попаданий.

А ещё после 5 бросков, т.е. после 25 бросков, их стало

25 · 0,56 = 14.

Следовательно, из последних пяти бросков успешными были

14 – 11 = 3 броска.

После того как лист бумаги сложили и разрезали, проделаем обратные операции в обратном порядке. То есть начнём разворачивать лист так, как показано на следующем рисунке.

Пунктирными линиями показаны линии сгиба, жирными – линии разреза. Видим, что получилось 9 кусков, среди которых 5 квадратных.

По условию, у бабушки 24 питомца и восьмая часть из них – собаки. Тогда у бабушки

24 : 8 = 3 собаки.

Далее, так как три четверти питомцев – не коровы, то коровы составляют одну четверть. Значит, число коров равно

24 : 4 = 6.

А так как две трети – не коты, то коты составляют одну треть и, значит, их количество равно

24 : 3 = 8.

В результате число кенгуру равно

24 – 3 – 6 – 8 = 7.

Поскольку ширина пяти прямоугольников в основании фигуры равна 10 см (см. рис. в условии задачи), то ширина одного прямоугольника равна

10 : 5 = 2 см.

А так как высота четырёх прямоугольников равна 6 см, то высота одного прямоугольника равна

6 : 4 = 1,5 см.

Поэтому площадь одного прямоугольника равна

2 · 1,5 = 3 см².

Фигура состоит из 14 таких прямоугольников, поэтому её площадь равна

14 · 3 = 42 см².

Площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см равна

0,5 · 10 · 6 = 30 см².

Следовательно, площадь серой части данной фигуры равна

42 – 30 = 12 см².

Пусть x – высота первой свечи, а y – второй.

Так как первая свеча сгорает за 6 часов, то через 3 часа горения её высота будет равна

(6 - 3)/6 · x = x/2.

А так как вторая свеча сгорает за 8 часов, то через 3 часа горения её высота будет равна

(8 - 3)/8 · y = 5y/8.

Согласно условию,

x/2 = 5y/8,

откуда

x/y = 5/4.

Таким образом, правильным является ответ 5 : 4.

После первой спички, которую положила Оля, продолжить можно с клеток с числом 3. Действительно, на сторонах этих клеток, с учётом соседних клеток с числом 0, спички выкладываются однозначно. Следующие шаги построения показаны ниже.

В результате видим, что путь, удовлетворяющий условию задачи, единственный и состоит из 16 спичек.

Справа от данного диаметра расположены числа от 8 до 22 включительно (см. рис.).

Количество этих чисел равно

22 – 8 + 1 = 15.

Слева от этого диаметра должно быть столько же чисел, иначе это не был бы диаметр. Поэтому всего по кругу записано

15 + 15 + 2 = 32 числа.

Значит, n = 32.

Так как Лёня на все свои деньги купил 50 бутылок минералки по 1 рублю за бутылку, то вначале у него было 50 рублей. Согласно условию, он продал 40 бутылок минералки за

50 + 10 = 60 рублей.

Значит, он продавал 1 бутылку за

60 : 40 = 1,5 рубля.

Поэтому после продажи всех 50 бутылок у него стало

50 · 1,5 = 75 рублей.

Окрасим клетки квадрата в шахматном порядке (см. рис.1).

Квадрат имеет 5 чёрных клеток, причём чёрные клетки не имеют общих сторон. На стороне каждого из этих квадратов должна быть зелёная палочка. Значит, Наташе понадобится не менее 5 зелёных палочек.

С другой стороны, пример на рис.2 показывает, что 5 зелёных палочек для нужного построения достаточно. Здесь цвета пронумерованы числами от 1 до 4. Число 4 означает зелёный цвет.

Таким образом, правильным является ответ 5.

Рассмотрим один из концов линии на развёртках А) – Г) и определим, с какой точкой на соседней грани он совпадёт, если развёртку обратно свернуть в куб. Результаты показаны ниже.

Видим, что линия на поверхности куба во всех этих вариантах ответа разрывная. Значит, только ответ Д) может быть правильным.

Действительно, выше показаны точками концы линии на развёртке, которые совпадут при сворачивании развёртки обратно в поверхность куба.

После того как Лиза съела одну десятую от 60 конфет, у неё осталось девять десятых от 60, т.е.

9/10 · 60 конфет.

На следующий день она съела одну девятую от того, что осталось в предыдущий день, и у неё осталось восемь девятых от предыдущего количества, т.е.

8/9 · 9/10 · 60 конфет.

Аналогично, в следующий день, после того как она съела одну восьмую, у неё осталось семь восьмых от предыдущего количества, т.е.

7/8 · 8/9 · 9/10 · 60 конфет.

Продолжая этот процесс дальше, находим, что, когда Лиза съела одну вторую остававшихся конфет, у неё осталась одна вторая от предыдущего количества, т.е.

1/2 · 2/3 · ... · 7/8 · 8/9 · 9/10 · 60 конфет.

Все числители дробей, начиная со второй, сократим со знаменателями предыдущих дробей. В результате получаем, что у Лизы осталось

1/10 · 60 = 6 конфет.

Заметим, что если подсчитывать непосредственно, сколько конфет съедала Лиза, то окажется, что каждый день она съедала по 6 конфет. После первого дня у неё осталось 54 конфеты, после второго дня – 48 конфет, после третьего дня – 36 конфет и т.д., в конце – 6 конфет.

Кружочки на диаграмме, соединённые отрезками, будем называть соседними. Видим (см. рис.), что кружочки 2 и 6 – соседние и, значит, должны быть окрашены в два разных цвета. Кружочки 5 и 8 являются соседними для обоих этих кружочков и, значит, должны быть окрашены в другой цвет, отличный от цвета кружочков 2 и 6. А так как Петя может использовать только три разных цвета, то кружочки 5 и 8 обязательно должны быть окрашены в один цвет. Поэтому правильным является ответ А) 5 и 8.

Что касается других вариантов ответа, то не трудно построить окраски, при которых указанные в этих ответах кружочки будут окрашены в разные цвета.

Пусть у Риты было 5x рублей. Тогда, согласно условию, у Веры было 3x рублей. После того как Рита купила планшет, у неё осталось

5x – 160 рублей.

Согласно условию,

(5x – 160) : 3x = 3/5.

Из пропорции получаем

5(5x - 160) = 3 · 3x , или

25x - 800 = 9x , или

16x = 800 , откуда

x = 50.

Следовательно, до покупки планшета у Риты было

5 · 5 = 250 рублей.

Пусть в турнире участвует n команд. Тогда число шахматистов, участвующих в турнире, равно 3n. Каждый участник должен сыграть со всеми, кроме себя и двух членов своей команды, т.е. должен сыграть

3n – 3 партии.

Тогда общее число партий в турнире равно

3n(3n – 3) : 2.

Здесь мы делим на 2, поскольку в произведении 3n(3n – 3) каждая партия подсчитана дважды: один раз, когда рассматривался один участник партии, и другой раз, когда рассматривался другой участник этой же партии.

Согласно условию,

3n(3n – 3) : 2 ≤ 250.

Решая неравенство, получаем:

n(n – 1) ≤ (2 · 250) / (3 · 3), т.е.

n(n – 1) ≤ 55⁵/₉.

Заметим, что произведение натуральных чисел n(n – 1) при росте n также растёт.

Далее, при n = 7 произведение равно

n(n – 1) = 7 · 6 = 42 < 55⁵/₉,

а при n = 8 произведение равно

n(n – 1) = 8 · 7 = 56 > 55⁵/₉,

Поэтому наибольшее натуральное решение полученного неравенства равно 7 и, значит, наибольшее число команд, которое может принять участие в этом турнире, также равно 7.

Пусть сторона данного квадрата равна a. Так как P и Q – середины противоположных сторон квадрата ABCD, то отрезок PQ делит данный квадрат на два равных прямоугольника (см. рис.1), площади которых равны a²/2.

Покажем, что площадь треугольника ATB составляет четвёртую часть от площади прямоугольника APQB.

Действительно, диагонали прямоугольника и средние линии (штриховые отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) делят его на 8 равных прямоугольных треугольников (см. рис.2).

Поэтому площади таких треугольников составляют восьмую часть от площади прямоугольника. Если убрать штриховые линии, то мы получим 4 равнобедренных треугольника, каждый из которых состоит из двух ранее полученных прямоугольных треугольников. Поэтому диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника, площадь каждого из которых составляет четвёртую часть от площади данного прямоугольника.

Итак, площадь треугольника ATB равна

1/4 · a²/2 = a²/8.

Найдём площадь треугольника ARB. Он является частью данного квадрата площади a². Площадь прямоугольного треугольника ADR равна

1/2 · DR · AD = 1/2 · a/2 · a = a²/4.

Треугольник RCB, равный ADR, имеет такую же площадь. Поэтому площадь треугольника ARB равна

a² - 2 · a²/4 = a²/2.

В результате площадь заштрихованной части квадрата ABCD, т.е. четырёхугольника ARBT, равна

a²/2 - a²/8 = 3/8 a²

и, значит, составляет 3/8 от площади данного квадрата.

Из условия следует, что в первых десяти вагонах едет

199 · 2 = 398 пассажиров.

В последних десяти вагонах едет столько же пассажиров. Два средних вагона входят и в первую десятку и во вторую. Поэтому, если сложить число пассажиров в первой десятке вагонов с числом пассажиров во второй десятке вагонов, то пассажиры в двух средних вагонах будут подсчитаны дважды. Поэтому число пассажиров в этих двух вагонах равно

398 + 398 – 700 = 96.

Немного по-другому правильный ответ можно было найти так. В вагонах от 1 до 5, согласно условию, едут 199 пассажиров (см. рис.).

В вагонах от 9 до 13 также едут 199 пассажиров.

И в вагонах от 14 до 18 едут 199 пассажиров.

Поэтому в вагонах 6, 7 и 8 едут

700 – 199 – 199 – 199 = 103 пассажира.

В то же время в вагонах от 6 до 10 едут 199 пассажиров. Поэтому в вагонах 9 и 10 (средних в поезде) едут

199 – 103 = 96 пассажиров.

Пример распределения пассажиров по вагонам для решения не нужен. Но его нетрудно построить. При этом нужно учесть, что количества пассажиров в вагонах должны повторяться через 5. Один из таких примеров приведён ниже.